En
Topologie, les
théorèmes de Dini énoncent des conditions sous lesquelles la
Convergence simple implique la
Convergence uniforme. Ce théorème porte le nom du mathématicien italien Ulisse Dini
(14 novembre 1845 - 28 octobre 1918) Énoncés des théorèmes de Dini
Les espaces de fonctions réelles peuvent être munis de
topologies différentes, à lesquelles sont associées des notions différentes de
Convergence de fonction, dont la convergence simple et la convergence uniforme :
- La Convergence simple ne nécessite aucune structure particulière sur l'ensemble de définition. Elle est en général plus facile à obtenir que la convergence uniforme. Malheureusement, elle ne préserve pas la Continuité : la limite simple de fontions continues sur un espace topologique n'est pas continue en général.
- Au contraire, la Convergence uniforme se définit pour des suites de fonctions définies sur un Espace métrique (ou plus généralement, sur un espace uniformisant, comme un Groupe topologique). Plus difficile à prouver, elle offre l'avantage de préserver la continuité : la limite uniforme de fonctions continues sur un espace métrique est continue.
La convergence uniforme implique la convergence simple, mais l'inverse est faux : la convergence simple ne fait pas appel à la topologie de l'ensemble de définition. Les
théorèmes de Dini donnent des conditions sous lesquelles la
Convergence simple d'une suite de fonctions réelles implique sa
Convergence uniforme. Ce sont donc des outils très efficace en pratique pour prouver qu'une suite de fonctions
converge uniformément.
Le premier théorème de Dini peut être vu comme une version pour les intégrales de Riemann du théorème de convergence monotone.
Premier théorème
Le premier théorème s'énonce :
- La convergence simple d'une suite monotone de fonctions définies et continues sur un espace topologique compact vers une fonction continue implique sa convergence uniforme.
Formellement, on dispose d'un espace topologique
X, d'une suite de fonctions
(f n : X → R), et on fait les hypothèses suivantes :
- Continuité : Les fonctions f n et la fonction f sont continues sur X ;
- Monotonie : la suite (f n ) est soit croissante ( ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ X, f n (x) ≤ f n + 1 (x)), soit décroissante ( ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ X, f n + 1 (x) ≤ f n (x)) ;
- Compacité : X est compact et donc de tout recouvrement ouvert de X on peut extraire un sous-recouvrement fini.
- Convergence simple : Pour tout x de X, la suite de réels (f n (x)) converge simplement vers f (x).
On en déduit alors que la suite
(f n ) converge uniformément sur
X vers
f.
Deuxième théorème
Le deuxième théorème de Dini s'énonce ainsi :
- La convergence simple d'une suite de fonctions réelles d'une variable réelle définies et croissantes sur un intervalle de R vers une fonction continue sur implique la convergence uniforme.
Formellement, on dispose d'un intervalle
de
R et d'une suite
(f n ) n ∈ N de fonctions (non-nécessairement
continues) de
dans
R . On fait les hypothèses suivantes :
- Continuité : La fonction f est continue ;
- Monotonie : Pour tout entier n et pour tout couple (x,y) tel que a ≤ x ≤ y ≤ b, on a : f n (x) ≤ f n (y) ;
- Convergence simple : Pour tout x de , la suite de réels (f n (x)) n converge simplement vers f (x).
On en déduit que la suite
(f n ) n converge uniformément sur
vers la fonction
f .
Convergence uniforme des fonctions de répartitions
Le deuxième théorème de Dini possède un corrolaire précieux en probabilités et en statistique:
- Une suite de fonctions de répartition qui converge simplement sur R vers une fonction de répartition continue F, converge uniformément vers F sur R.
En conséquence, la convergence uniforme des fonctions de répartitions a lieu dans le cas du théorème de la limite centrale, où la fonction de répartition limite est celle de la
Loi normale, et est, à ce titre, continue. Cela a des conséquences non anecdotiques en probabilités et statistique, comme, par exemple, le théorème de la limite centrale pour la médiane, ou bien le théorème de la limite centrale pour les processus de renouvellement.
Démonstrations
Les démonstrations proposées reprennent les notations introduites ci-dessus.
Bien que connu sous le nom de deuxième théorème de Dini dans l'enseignement francophone, il semble qu'en fait ce théorème soit dû à Pólya.
Du premier théorème
Supposons la suite
(f n ) croissante (si elle est décroissante, on se ramène au cas croissant en remplaçant les fonctions
f n et f par leurs opposées). La croissance implique que pour tous entiers
n<
m et pour tout point
x de
X, on a
f n (x) ≤ f m (x). Par passage à la limite simple dans les inégalités, on obtient :
∀ n ∈ N, ∀ x ∈ X, f n (x) ≤ f (x).
Fixons un nombre réel ε>0 et considérons les ensembles V n ( ε) = {x ∈ X, f n (x)>f (x)- ε } . Par continuité des fonctions f n et f, ces ensembles sont des ouverts (en fait il suffirait de supposer les f n semi-continues inférieurement et f semi-continue supérieurement). La convergence simple de (f n ) vers la fonction f se traduit par :
Comme X est compact, on peut extraire un sous-recouvrement fini ; il existe donc un entier N ε tel que :
Par monotomie, la suite V n ( ε) est croissante. Il vient donc :
X = V N ε ( ε)
A nouveau en utilisant l'hypothèse de monotonie,
∀ n ≥ N ε , f n (x) ≥ f N ε (x) ≥ f (x)- ε.
Donc la convergence de f n (x) vers f (x) est uniforme en x.
Du deuxième théorème
Soit un réel
ε>0. La fonction f est non seulement continue et bornée (par hypothèse) mais aussi croissante (comme limite simple de fonctions croissantes). En choisissant
| k> | f (b)-f (a)
–––––––––––––––
ε | , |
il existe une Subdivision
| a 0 = a< a 1 < | .
s
| < a k - 1 <b = a k |
de I telle que
∀ i = 0, …,k-1, f (a i + 1 )-f (a i )< ε.
Pour tout x ∈ I, soit i tel que a i ≤ x ≤ a i + 1 . La croissance de f et des f n et le choix de la subdivision impliquent (pour tout entier n)
f n (x)-f (x) ≤ f n (a i + 1 )-f (a i )<f n (a i + 1 )-f (a i + 1 )+ ε
et
f n (x)-f (x) ≥ f n (a i )-f (a i + 1 )>f n (a i )-f (a i )- ε. n
Par convergence simple, il existe un entier N ε tel que | ∀ n ≥ N ε , ∀ i = 0, | .
s
| ,k, |f n (a i )-f (a i )|< ε. |
Les inégalités précédentes donnent alors : ∀ n ≥ N ε , ∀ x ∈ I, |f n (x)-f (x)|< 2 ε.
Donc la convergence de f n (x) vers f (x) est uniforme en x.
De la convergence uniforme des fonctions de répartitions
Notons
(F n ) n la suite de fonctions de répartition qui converge vers F. Pour
x ∈]0,1, parce que F n et g sont croissantes (sur R et ]0,10,10, 1[ comme composée des fonctions continues F et g. Ainsi f n converge uniformément vers f en vertu du deuxième théorème de Dini. La convergence uniforme de F n vers F en découle.Notes et références
Voir aussi